全国初中物理竞赛试题及答案

先把电流表看做一条导线，电路等效成R1与R2，R3与R4分别并联后再串联，现在可以算出通过各个电阻的电流，通过电阻R1234的电流分别为1.5A 1.5A 2A 1A，设通过电流表的电流为X，方向设为向上。因为通过R3的电流=通过R1的电流+X，即2=1.5+x,得x=0.5A

答案为0.5A，方向向上

第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷

参考解答与评分标准

一、填空（问答）题.每小题5分，共25分.按各小题的答案和评分标准评分.

1. 答案与评分标淮：

这种分布的静电场不可能存在.因为静电场是保守场，电荷沿任意闭合路径一周电场力做的功等于0，但在这种电场中，电荷可以沿某一闭合路径移动一周而电场力做功不为0．（5分）

2．答案与评分标淮：

1.5．（5分）

3．答案与评分标淮：

测电笔内阻很大，通过与之串联的人体上的电流（或加在人体上的电压）在安全范围内；（2分）

市电为交流电，而电工鞋相当于一电容器，串联在电路中仍允许交流电通过．（3分）

4．答案与评分标淮：

．（5分）

5．答案与评分标淮：

该学生未考虑竖直方向木块所受的支持力和重力的力矩.仅根据摩擦力的力矩为零便推出木块的角动量应守恒，这样推理本身就不正确.事实上，此时支持力合力的作用线在重力作用线的右侧，支持力与重力的合力矩不为0，木块的角动量不守恒，与木块作减速运动不矛盾．（5分）

二、

参考解答：

设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为、、、．因轻质刚性的桌面处在平衡状态，可推得

． (1)

由于对称性，

． (2)

考察对桌面对角线BD的力矩，由力矩平衡条件可得

． (3)

根据题意，，c=0对应于力F的作用点在O点，c=1对应于F作用点在A点.

设桌腿的劲度系数为 , 在力F的作用下，腿1的形变为，腿2和4的形变均为，腿3的形变为．依题意，桌面上四个角在同一平面上，因此满足 , 即

． (4)

由(1)、(2)、(3)、(4)式，可得

， (5)

， (6)

当时， . ，表示腿3无形变；，表示腿3受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故应视．此时(2)式(3)式仍成立．由(3)式，可得

． (7)

综合以上讨论得

, . (8)

， . (9)

评分标准：本题20分.

(1)式1分，(2)式1分，(3)式2分，(4)式7分，得到由(8)式表示的结果得4分，得到由(9)式表示的结果得5分．

三、

参考解答：

1.否．原因是墙壁对于该体系而言是外界，墙壁对弹簧有作用力，在运动参考系里此力的作用点有位移，因而要对体系做功，从而会改变这一体系的机械能．

2.因地球受月球的引力作用，月球受地球的引力作用，它们相对惯性系都有加速度，故它们都不是惯性参考系．相对非惯性参考系，牛顿第二定律不成立．如果要在非惯性参考系中应用牛顿第二定律，必须引入相应的惯性力；而这两位学生又都未引入惯性力，所以他们得到的结果原则上都是错误的．

以地心为参考系来求月球的加速度.地心系是非惯性系，设地球相对惯性系的加速度的大小为，则由万有引力定律和牛顿第二定律有

， (1)

加速度的方向指向月球．相对地心参考系，月球受到惯性力作用，其大小

， (2)

方向指向地球，与月球受到的万有引力的方向相同．若月球相对地心系的加速度为，则有

． (3)

由(1)、(2)、(3)三式，得

， (4)

加速度的方向指向地球．

以月心为参考系来求地球的加速度.月心系也是非惯性系，设月球相对惯性系的加速度的大小为，则由万有引力定律和牛顿第二定律有

， (5)

加速度的方向指向地球．相对月心参考系，地球受到惯性力作用，惯性力的大小

， (6)

方向指向月球，与地球受到的万有引力的方向相同．若地球相对月心系的加速度为，则有

． (7)

由(5)、(6)、(7)三式得

， (8)

加速度的方向指向月球． (4)式与(8)式表明，地球相对月心系的加速度与月球相对地心系的加速度大小相等(方向相反)，与运动的相对性一致．

评分标准：本题15分.

第1小问5分.

第2小问10分.指出不正确并说明理由，占2分；(1)至(8)式，每式1分．

四、

参考解答：

于火箭燃烧室出口处与喷气口各取截面与，它们的面积分别为和，由题意，，以其间管道内的气体为研究对象，如图所示．设经过很短时间，这部分气体流至截面与之间，间、间的微小体积分别为、，两处气体密度为、，流速为、．气流达到稳恒时，内部一切物理量分布只依赖于位置，与时间无关．由此可知，尽管间气体更换，但总的质量与能量不变．

先按绝热近似求喷气口的气体温度．质量守恒给出

， (1)

即气体可视为由气体绝热移动所得．事实上，因气流稳恒，气体流出喷口时将再现气体状态．对质量的气体，利用理想气体的状态方程

(2)

和绝热过程方程

， (3)

可得

． (4)

再通过能量守恒求气体的喷射速率．由(1)式及，可得

， (5)

再利用(1)、(3)式，知，因，，故

． (6)

整个体系经时间的总能量（包括宏观流动机械能与微观热运动内能）增量为部分与部分的能量差．由于重力势能变化可忽略，在理想气体近似下并考虑到(6)式，有

． (7)

体系移动过程中，外界做的总功为

． (8)

根据能量守恒定律，绝热过程满足

， (9)

得

， (10)

其中利用了(2)、(4)两式．

评分标准：本题20分.

(2)式1分，(3)式2分，(4)式3分，(6)式1分，(7)式6分，(8)式4分，(9)式1分，(10)式2分．

五、

参考解答：

旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为

． (1)

由(1)式，旋转抛物面方程可表示为

． (2)

停转后液面水平静止．由液体不可压缩性，知液面上升．以下求抛物液面最低点上升的高度．

抛物液面最低点以上的水银，在半径、高的圆柱形中占据体积为的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为的部分无水银．体在高度处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得处圆环面积

． (3)

将体倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体，相应抛物面方程变为

， (4)

其高度处的水平截面为圆面，面积为

． (5)

由此可知

， (6)

即停转后抛物液面最低点上升

． (7)

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同．设眼长为．凹面镜成像时，物距即所求距离，像距v与像长分别为

， (8)

． (9)

平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为

， (10)

像距与像长分别为

， (11)

． (12)

两像视角相同要求

， (13)

即

， (14)

此处利用了(8)—(12)诸式．由(14)式可解得所求距离

． (15)

评分标准：本题20分.

(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分．

六、

参考解答：

1．先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．根据光速不变原理，两系中光速的大小都是．以和分别表示光子速度方向在和系中与和轴的夹角，则光速的分量为

， (1)

． (2)

再利用相对论速度变换关系，得

． (3)

系中光源各向同性辐射，表明有一半辐射分布于的方向角范围内，系中，此范围对应．由上式求得

． (4)

可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小．

2．系中，质点静止，在时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即

， (5)

式中为时间内质点减少的质量．系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为，即

； (6)

转化为光子的总能量为，即

． (7)

系中光源静止，测得的辐射时间为本征时，在系中膨胀为

， (8)

由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为

， (9)

． (10)

评分标准：本题20分.

第1小问7分.(3)式4分，(4)式3分.

第2小问13分.(5)、 (6) 、(7)式各2分，(8)式3分，(9) 、(10) 式各2分．

七、

参考解答：

1．光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为

， (1)

． (2)

其中为碰撞后反射镜的速度．从上两式消去，得

． (3)

(4)

当时，，可得

． (5)

2.考察时刻位于垂直于光传播方向的截面A左侧的长为光在1s时间内所传播的距离c?8?71s、底面积为单位面积柱体内的光子，如图1所示．经过1s时间，它们全部通过所考察的截面．若单位体积中的光子数为，根据光强的定义，入射光的强度

（6）

若A处固定一反射镜，则柱体的底面S2处的光子在时刻t到达位于A处的反射镜便立即被反射，以光速c向左移动；当柱体的底面S1在t+1s到达A处被反射镜反射时，这柱体的底面S2已到达A左边距离A为c?8?71s处，所有反射光的光子仍分布在长为c?8?71s、截面积为单位面积的柱体内，所以反射光的强度与入射光的强度相等．

如果反射镜不固定，而是以恒定的速度V向右移动，则在时刻t+1s柱体的底面S1到达A处时，反射镜已移到A右边距离为V?8?71s的N处，这时底面S2移到A左侧离A的距离为c?8?71s处，如图2中a所示.设再经过时间，S1与镜面相遇，但这时镜面己来到处，因为在时间内，镜面又移过了一段距离，即在时刻，底面S1才到达反射镜被反射．亦即原在S1处的光子须多行进cΔt的距离才能被反射．因此

得

(7)

而这时，底面S2又向左移了一段距离．这样反射光的光子将分布在长为的柱体内．因反射不改变光子总数，设为反射光单位体积中的光子数，有

故有

． (8)

根据光强度的定义，反射光的强度

． (9)

由(4)、(8)、(9)各式得

． (10)

注意到有

． (11)

评分标准：本题20分.

第1小问9分. (1)、(2)式各2分，(4)或(5)式5分.

第2小问11分.(8)式5分，(9)式3分，(10) 或(11)式3分．

八、

参考解答：

两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量包括以下几部分：每个原子的负电中心振动的动能，每个原子的负电中心因受各自原子核“弹性力”作用的弹性势能，一个原子的正、负电荷与另一原子的正、负电荷的静电相互作用能.以和分别表示两个原子的负电中心振动速度，和分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，则体系的能量

， (1)

式中U为静电相互作用能

， (2)

为静电力常量．因，，，利用，可将(2)式化为

， (3)

因此体系总能量可近似表为

. (4)

注意到和，可将(4)式改写为

. (5)

式中，

， (6)

， (7)