九年级数学圆的知识点

　一、圆的相关概念

　1、圆的定义

　在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

　2、圆的几何表示

　以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

　二、弦、弧等与圆有关的定义

　（1）弦

　连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

　（2）直径

　经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）

　直径等于半径的2倍。

　（3）半圆

　圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

　（4）弧、优弧、劣弧

　圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

　弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

　大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

　三、垂径定理及其推论

　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

　推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

　（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

　（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

　垂径定理及其推论可概括为：

　过圆心

　垂直于弦

　直径平分弦知二推三

　平分弦所对的优弧

　平分弦所对的劣弧

　四、圆的对称性

　1、圆的轴对称性

　圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

　2、圆的中心对称性

　圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

　五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

　1、圆心角

　顶点在圆心的角叫做圆心角。

　2、弦心距

　从圆心到弦的距离叫做弦心距。

　3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

　六、圆周角定理及其推论

　1、圆周角

　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

　2、圆周角定理

　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

　推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

　推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

　七、点和圆的位置关系

　设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

　d

　d=r点P在⊙O上；

　d>r点P在⊙O外。

　八、过三点的圆

　1、过三点的圆

　不在同一直线上的三个点确定一个圆。

　2、三角形的外接圆

　经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

　3、三角形的外心

　三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

　4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）

　圆内接四边形对角互补。

　九、反证法

　先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

　十、直线与圆的位置关系

　直线和圆有三种位置关系，具体如下：

　（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

　（2）相切：直线和圆有公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

　（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

　直线l与⊙O相交d

　直线l与⊙O相切d=r；

　直线l与⊙O相离d>r；

　十一、切线的判定和性质

　1、切线的判定定理

　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　2、切线的性质定理

　圆的切线垂直于经过切点的半径。

　十二、切线长定理

　1、切线长

　在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

　2、切线长定理

　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

　十三、三角形的内切圆

　1、三角形的`内切圆

　与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

　2、三角形的内心

　三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

　十四、圆和圆的位置关系

　1、圆和圆的位置关系

　如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

　如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

　如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

　2、圆心距

　两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

　3、圆和圆位置关系的性质与判定

　设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

　两圆外离d>R+r

　两圆外切d=R+r

　两圆相交R—r

　两圆内切d=R—r（R>r）

　两圆内含dr）

　4、两圆相切、相交的重要性质

　如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

　十五、正多边形和圆

　1、正多边形的定义

　各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

　2、正多边形和圆的关系

　只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

　十六、与正多边形有关的概念

　1、正多边形的中心

　正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

　2、正多边形的半径

　正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

　3、正多边形的边心距

　正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

　4、中心角

　正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

　十七、正多边形的对称性

　1、正多边形的轴对称性

　正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

　2、正多边形的中心对称性

　边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

　3、正多边形的画法

　先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

　十八、弧长和扇形面积

　1、弧长公式

　n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

　2、扇形面积公式

　其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

　3、圆锥的侧面积

　其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

　数学性质

　数学性质是数学表观和内在所具有的特征，一种事物区别于其他事物的属性。如：平行四边形的性质：对边平行，对边相等，对角线互相平分，中心对称图形。

　初中数学知识点

　加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。

　减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

　乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。

　除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

　乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

　混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

圆的知识点归纳总结初三是什么?

圆是初三数学几何部分的重要内容，特别是切线的判定与性质的考题已成为多地中考数学几何压轴题的热点题型。下面我为大家整理了初三数学圆知识点，供大家参考。

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点、直线、圆和圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径；

②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径；

③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径。

2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3.外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

4.直线和圆的位置关系

相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

5.直线和圆位置关系的性质和判定

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

①直线l和⊙O相交<=>d<>；

②直线l和⊙O相切<=>d=r；

③直线l和⊙O相离<=>d>r。

三、正多边形和圆

1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。

3、正多边形的有关概念：

(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。

(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。

(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。

(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

4、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆。

(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。(3)边数相同的正多边形相似。

四、有关圆的公式

（1）给直径求圆的周长:c=πd。

（2）给半径求圆的周长:c=2πr。

（3）给直径求圆的半径:r=d÷2。

（4）给周长求圆的半径:r=c÷π÷2。

（5）给半径求圆的直径:d=2r。

（6）给周长求圆的直径:d=c÷π。

（7）给直径求半圆周长:c=πr+d。

（8）给半径求半圆周长:c=πr+2r。

（9）给半径求圆的面积:s=πr?。

（10）给直径求圆的面积:s=π(d÷2)?。

（11）给周长求圆的面积:s=π(c÷π÷2)?。

（12）给半径求半圆面积:s=πr?÷2。

（13）给直径求半圆面积:s=π(d÷2)?÷2。

（14）给大圆和小圆半径求圆环面积:s=π(R?-r?)。

（15）给大圆和小圆半径求圆环面积:s=πR?-πr?。

初三数学的知识点梳理

圆的知识点归纳：

1、在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆(Circle)。

2、圆有无数条对称轴。

3、圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

4、圆形规定为360°，是古巴比伦人在观察地平线太阳升起的时候，大约每4分钟移动一个位置，一天24小时移动了360个位置，所以规定一个圆内角为360°。这个°，代表太阳。

与圆相关的公式：

1、半圆的面积：S半圆=(πr^2)/2。（r为半径）。

2、圆环面积：S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。

3、圆的周长：C=2πr或c=πd。（d为直径，r为半径）。

4、半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。（d为直径，r为半径）。

5、扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R为扇形半径）。

6、扇形面积S=nπ R?/360=LR/2（L为扇形的弧长）。

7、圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）。

于无穷多个小扇形面积的和，所以在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πR，所以有S=πr?。

对世界上的一切学问与知识的掌握也并非难事，只要持之以恒地学习，努力掌握规律，达到熟悉的境地，就能融会贯通，运用自如。学习需要持之以恒。下面是我给大家整理的一些初三数学的知识点，希望对大家有所帮助。

九年级下册数学知识点归纳

圆

★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆内容提要☆

一、圆的基本性质

1.圆的定义(两种)

2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理

4.垂径定理及其推论

5.“等对等”定理及其推论

6.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)

⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)

⑶弦切角定义(弦切角定理)

二、直线和圆的位置关系

1.切线的性质(重点)

2.切线的判定定理(重点)

3.切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)

2.相切(交)两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理

2.切割线定理

五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

中心角：初中数学复习提纲

内角的一半：初中数学复习提纲(右图)

(解Rt△OAM可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)

六、一组计算公式

1.圆周长公式

2.圆面积公式

3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算 方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

初三下册数学知识点 总结

一、锐角三角函数

正弦等于对边比斜边

余弦等于邻边比斜边

正切等于对边比邻边

余切等于邻边比对边

正割等于斜边比邻边

二、三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,这种级数称为幂级数.

泰勒展开式(幂级数展开法)

f(x)=f(a)+f'(a)/1!.(x-a)+f''(a)/2!.(x-a)2+...f(n)(a)/n!.(x-a)n+...

三、解直角三角形

1.直角三角形两个锐角互余。

2.直角三角形的三条高交点在一个顶点上。

3.勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方

四、利用三角函数测高

1、解直角三角形的应用

(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.

如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.

(2)解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.

初三数学学习技巧

重视构建知识网络——宏观把握数学框架

要学会构建知识网络，数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考[微博]考查的重点。因此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类、定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一些问题。

重视夯实数学双基——微观掌握知识技能

在复习过程中夯实数学基础，要注意知识的不断深化，重视强化题组训练——感悟数学思想方法

除了做基础训练题、平面几何每日一题外，还可以做一些综合题，并且养成解题后 反思 的习惯。反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联系。而总结出它所用到的数学思想方法，并把思想方法相近的题目编成一组，不断提炼、不断深化，做到举一反三、触类旁通。逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。

重视建立“病例档案”——做到万无一失

准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常地拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，这样到中考时你的数学就没有什么“病例”了。我们要在教师的指导下做一定数量的数学习题，积累解题 经验 、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握 学习方法 。

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